В треугольнике ABC угол C в 2 раза больше угла B, CD — биссектриса. Из середины M стороны BC опущен перпендикуляр MH

Рассмотрим треугольник АВС:1. Соединим точки D и М. Получим, что DM - высота, медиана и биссектриса треугольника DBC , так как этот треугольник равнобедренный (угол DCB = углу DMH = 30°) => AD = DM => DH перпендикулярна АМ.2. Т.к, МА совпадает с МН, так как из одной точки (М) можно провести к одной прямой (DC) только один перпендикуляр. Значит точки А,Н и М лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольники СДМ и ВДМ

• В треугольнике СДВ угол С равен углу В (по условию, угол В в два раза меньше угла С треугольника АВС, а СД биссектриса);
• Значит, треугольник СДВ равнобедренный, следовательно сторона СД = ВД;
• ДМ является биссектрисой и высотой в равнобедренном треугольнике СДВ (М - середина стороны ВС, СМ = ВМ по условию);
• Значит, треугольник СДМ и ВДМ равны (по трем сторонам: СД = ВД, СМ = ВМ, ДМ общая сторона).

В прямоугольных треугольниках СДМ и ВДМ равны высота МН и отрезок МК. Отсюда делаем вывод, что МК-перпендикуляр к стороне АВ, и угол AKH = углу KHD =30° (так как треугольник НКМ равносторонний по условию, углы у равностороннего треугольника равны 60°, 90° - 60° = 30°).

Рассмотрим треугольник АНК

В треугольнике АНК угол А равен 30° (180° - (30° + (30°+ 90°)) = 30°).Треугольник HDK - равнобедренный, так как DK = DH, угол НДМ равен 120° : 2 = 60°, значит в треугольнике ДМН угол DMH = 30° (180° - 60° - 90° = 30°).

Отсюда следует, что AD = DМ, а  DH перпендикулярна АМ.

Следовательно, прямая МА совпадает с отрезком МН, так как из одной точки (М) можно провести к одной прямой (DC) только один перпендикуляр. Значит точки А, Н и М лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.