Восстановите запись: 11⋅∗∗=∗∗∗5. Назовите сумму пяти пропущенных цифр.

1. Рассмотрим разряд единиц. Чтобы получить 5, нужно 1 умножить на 5, значит число единиц во втором множителе равно 5. Получаем 11 * *5 = ***5.2. Произведение является четырёхзначным числом. При умножении 11 на 85 получается лишь трёхзначное число (935), следовательно необходимо 11 умножить на 95. В итоге получается:11 * 95 = 1045.3. Сумма пяти пропущенных цифр:9 + 5 + 1 + 0 + 4 = 19.Ответ: 19.

   Решим упражнение двумя способами.

  Метод логических рассуждений

   Число 11 умножаем на неизвестное двузначное число, получаем число, оканчивающееся на цифру 5. Из этого следует, что двузначное число также оканчивается на цифру 5.

   С другой стороны, если умножим числа 11 и 90, то получим трехзначное число 990, а по количеству звездочек видно, что произведение должно быть четырехзначным числом, из чего следует, что неизвестный множитель больше 90. Следовательно, этим множителем является единственное двузначное число, которое больше 90 и оканчивается на цифру 5, т.е. - 95. Восстановив запись, получим:

      11 * 95 = 1045.

   Вычислим сумму пяти пропущенных цифр:

      9 + 5 + 1 + 0 + 4 = 19.

  Метод обозначений неизвестных цифр

   В записи

      11 * ∗∗ = ∗∗∗5

вместо звездочек используем переменные:

      11 * ab = cde5; (1), где

      ab = 10a + b;

      cde5 = 1000c + 100d + 10e + 5.

   Подставив эти значения в уравнение (1), получим:

      11 * (10a + b) = 1000c + 100d + 10e + 5;

      110a + 11b = 1000c + 100d + 10e + 5;

      110a + 10b + b - 5 = 1000c + 100d + 10e. (2)

   Из уравнения (2) следует, что b - 5 делится на 10, следовательно b = 5, т.к b обозначает цифру. Тогда получим уравнение:

      110a + 50 = 1000c + 100d + 10e;

      11a = 100c + 10d + e - 5;

      11a >= 100 + 0 + 0 - 5, цифра \"c\" не должна равняться нулю, иначе в правой части не получим четырехзначное число;

      11a >= 95;

      a >= 95/11 > 8.

   Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию: 9. Восстановим запись:

      11 * 95 = 1045.

   Для неизвестных цифр получим:

• a = 9;
• b = 5;
• c = 1;
• d = 0;
• e = 4,

а для суммы цифр:

      a + b + c + d + e = 9 + 5 + 1 + 0 + 4 = 19.

   Ответ: 11 * 95 = 1045; 19.