Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

Так как треугольник равносторонний, то для нахождения радиуса окружности, вписанной в него, используется формула: r = a√3 / 6, где а - это сторона равностороннего треугольника, а r - соответственно, радиус вписанной окружности. В нашем случае, сторона равна \"12\", значит, радиус окружности: r = 12√3 / 6 = 2√3.Ответ: r = 2√3.

Окружность, вписанная в равносторонний треугольник, касается всех его сторон. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. В результате пересечения биссектрис образовывается несколько различных треугольников.

Первый треугольник, образованный при  проведении одной биссектрисы 

Если в равностороннем треугольнике провести одну биссектрису, то получается два прямоугольных треугольника. Так как в равностороннем треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Таким образом, полученный прямоугольный треугольник имеет:

• гипотенузу, равную 12 см (сторона равностороннего треугольника по условию);
• один катет - 12/2 = 6 см (лежит против угла 30 градусов);
• второй катет - биссектриса, а в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.

Второй треугольник, образованный при  проведении двух биссектрисы

Если в равностороннем треугольнике провести вторую биссектрису, то можно увидеть самый маленький из образовавшихся прямоугольных треугольников:

• его один катет является половиной стороны, к которой была проведена первая биссектриса и равна 6 см;
• гипотенуза - часть второй биссектрисы от вершины исходного треугольника до точки пересечения биссектрис;
• второй катет - радиус вписанной окружности.

Пусть последняя величина равна Х, тогда гипотенуза - 2Х и по теореме Пифагора:

(2Х)^2 = 6^2 + Х^2.

Откуда, 

Х1 = 2 * (3)^(1/2) см;

Х2 = -2 * (3)^(1/2) - не имеет смысла.

Ответ: радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2 * (3)^(1/2) см.