Докажите что если медиана треугольника совпадает с его высотой,то треугольник равнобедренный.

Чертеж:

http://bit.ly/2BuyCSb

Дано: ∆ABC, BD - является одновременно его медианой и высотой.

Доказать: ∆АВС - равнобедренный.

Доказательство:

Доказать равенство треугольников

Напомним, что медиана - это такой отрезок, который выходит из вершины и делит пополам противоположную сторону треугольника, а высота - это такой отрезок, который выходит из вершины перпендикулярно к противоположной стороне треугольника.

Возьмем треугольники ABD и CBD. В этих треугольниках:

• AD = DC, т.к. BD является медианой (по условию);
• BD - общая сторона;
• ∠ADB = ∠CDB = 90°, т.к. BD является высотой (по условию).

Получается, что ∆ABD = ∆CBD по 1-му признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Доказать равенство нужных нам сторон

В тех треугольниках, которые равны, соответствующие элементы тоже будут равны. Поэтому из полученного нами равенства треугольников ABD и CBD следует равенство сторон:

АВ = АС (это те стороны, которые лежат напротив равных прямых углов ADB и CDB).

А это и означает, что треугольник АВС - равнобедренный, именно это требовалось доказать.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, у которого проведена высота, совпадающая с медианой BH: bit.ly/2ePgE3qСледовательно, у нас получается два прямоугольных треугольника AHB и CHB, у которых сторона (катет) BH - общая, а значит равная, и стороны AH и CH (катеты) равны, так как BH медиана и делит сторону AC пополам. То есть по равенству двух катетов мы можем сказать, что данные прямоугольные треугольники равны, следовательно и гипотенузы их равны - стороны AB и CB. Значит, треугольник ABC является равнобедренным. Что и требовалось доказать.