На сторонах угла D отмечены точки M и K так, что DM = DK. Точка P лежит внутри угла D , и PK = PM. Докажите,что луч DP-биссектриса

Рассмотрим треугольник МDK.Этот треугольник равнобедренный, так как DM = DK.Так как PK = PM, следовательно, луч DP является медианой треугольника MDK.Но в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой угла D.Значит, луч DP — биссектриса угла MDK.

Для решения данной задачи необходимо сделать рисунок угла Д, подписать все буквы, отметить равные отрезки черточками.

Данные по условию

ДМ = ДК, РК = РМ (точка Р внутри угла Д).

Также для решения задачи нужно знать три признака равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам второго треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ДМР и ДКР

ДМ = ДК (по условию), РК = РМ (по условию), сторона ДР - общая.

Значит, треугольник ДМР равен треугольнику ДКР (по третьему признаку - по трем сторонам).

Значит, и углы треугольника ДМР равны углам треугольника ДКР. Найдем соответствующие равные углы: угол МДР равен углу КДР (они лежат между равными сторонами МД и ДК, и общей стороной ДР).

Значит, ДР является биссектрисой угла МДК.