Биссектриса прямого угла трапеции пересекает боковую сторону в её середине. Докажите, что меньшая боковая сторона равна

http://bit.ly/2eVpjF9 ссылка на рисунокРешение задачи:1.с условия задачи следует что нужно доказать равенство :АВ=ВС+АD.2.проведем перпендикуляр с точки К к стороне АВ.3.по определению параллельности прямых :МК││ ВС,МК││ АD.4.используя теорему Фалеса можно записать равенство:,с чего следует, что МК срединная линия трапеции.5.сторона АВ=2*АМ.6.расмотрим треугольник АМК: ∠АМК=90 ͦ,∠ МАК=45 ͦ,а значит ∠МКА=45 ͦ.7.треугольник АМК равнобедренный с основою АК, а сторона АМ=МК.8.запишим уравнение для средней линии трапеции:МК=9.помножим обе части уравнения на 2:2*МК=BC+AD10.так как, АМ=МК, а АВ=2*АМ, запишем следующее уравнение:АВ=ВС+АDЧто и требовалось доказать.

Сначала сделаем рисунок к задаче.

http://bit.ly/2nZOFVY

Выразим длину BK

Продолжим биссектрису AE до пересечения с продолжением меньшего основания BC. На их пересечении поставим точку K.

Рассмотрим треугольники ADE и KCE. У этих треугольников:

1. CE = DE по условию;
2. ∠AED = ∠KEC, так как они вертикальные;
3. ∠ADE = ∠KCE, как внутренние накрест лежащие при параллельных BK и AD и секущей CD.

Так как у треугольников ADE и KCE соответственно равны одна сторона и прилежащие к ней углы, то, согласно второму признаку равенства треугольников, треугольник ADE равен треугольнику KCE.

Следовательно, сторона AD треугольника ADE равна стороне CK треугольника KCE. Таким образом,

BK = BC + CK = BC + AD.

То есть BK равна сумме оснований трапеции ABCD.

Определим градусную меру угла BAK

По условию задачи ∠BAD трапеции ABCD прямой, то есть равен 90°. Биссектриса AE делит его на два равных угла: ∠BAK и ∠KAD. Найдем их величину.

∠BAK = ∠KAD = ∠BAD : 2;

∠BAK = ∠KAD = 90° : 2;

∠BAK = ∠KAD = 45°.

Докажем, что равна AB = BC + AD

Рассмотрим большой треугольник ABK.

Так как сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°, то ∠ABK + ∠BAD = 180°. ∠BAD = 90° по условию задачи. Значит,

∠ABK = 180° - ∠BAD;

∠ABK = 180° - 90°;

∠ABK = 90°.

Следовательно, треугольник ABK прямоугольный. В нем ∠ABK = 90°, ∠BAK = 45°.

Найдем ∠BKA.

∠BKA = 180° - (∠ABK + ∠BAK);

∠BKA = 180° - (90° + 45°);

∠BKA = 180° - 135°;

∠BKA = 45°.

Так как ∠BKA = ∠BAK = 45°, то треугольник равнобедренный. У него AB = BK.

Так как BK = BC + AD, то AB = BC + AD.

AB является меньшей боковой стороной трапеции, а BK равна сумме оснований трапеции.Эти величины равны.

Что и требовалось доказать.