В конус объёмом 32 до середины высоты налили воды. Чему равен объём воды?

Объем конуса определяется по формуле:V = 1/3 * π * H * R^2, где H-высота, R- радиус.R^2 = 3 * V / π *HОбразующую L легко найти по теореме Пифагора:L^2 = H^2 + R^2.Высота малого конуса будет равна: h = H/2.Квадрат малого радиуса: r = 1/4 * ( H^2 + R^2) - H^2 / 4= R^2 / 4.Объем Vs заполненный жидкостью будет равен разности объемов этих конусов:Vs = V - v = V - 1/3 * π * h * r^2 = V -1/3 * π * H/2 * 3 * V / π *H = V -V/2 = 32 - 16 = 16.

 

 

Задача в основном на определение объёма конуса с различными параметрами, в частности с различной высотой конуса.Определим первоначальные параметры конуса: высота Н, радиус окружности основания R; объём - V1.

 Вычисление объёма конуса при разных параметрах высоты и радиуса основания

 основная формула объёма конуса:

  V = 1 / 3 * (pi * R ^ 2) * H;

R - радиус окружности основания; H - высота конуса; pi = 3,14;

•   запишем первоначальные параметры объёма конуса:

 V1 = 1 / 3 *(pi* R^2) * H = 32;

• вычисление объёма конуса с высотой, равной половине первоначальной высоты: V2 = 1 / 3 *(pi * r ^ 2) * (H / 2), где r - радиус окружности основания для конуса с высотой H / 2.

Вычисление параметров малого конуса и объёма воды

• вычисление радиуса основания r;
• вычисление объёма малого конуса V2;
• вычисление объёма воды; 

 1. Для вычисления параметров малого конуса - радиуса r, рассмотри треугольники в сечении обоих конусов, состоящих: треугольник 1 - из радиуса R, высоты H, и треугольник 2 - из радиуса r и высоты Н / 2. Эти два треугольника подобны, значит,

r : R = (Н / 2) : (Н) = 1; Откуда r = R / 2. 

 2. Объём малого конуса V2 = 1 / 3 * (pi * r ^ 2) * (H / 2) =

1 / 3 * pi * (R / 2) ^ 2 * H / 2 = 1 / 3 * (pi * R ^ 2) * H : (4 * 2) = V1 : 8 = 32 : 8 = 4.

  3. Объём налитой воды равен: Vв = V1 - V2 = 32 - 4 = 28.

Ответ: объём воды = 28.