Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями, через двойной интеграл.

Алгоритм вычисления площади

• Выполнить чертеж обоих функций на координатной прямой, закрасить получившуюся фигуру;
• Найти точки пересечения графиков;
• Выбрать порядок обхода области получившейся фигуры;
• Выполнить вычисления по формуле нахождения площади: S = _D~~dxdy (~~ это двойной интеграл).

Найдем точки пересечения графиков

Даны две функции y = - x² - 4x и y = x

Приравниваем значение у.

- x² - 4x = х

- x² - 4x - х = 0

- x² - 5x = 0

-х(х + 5) = 0

х = 0 х = - 5

Выбираем порядок обхода области

-5 <= x <= 0

x <= y <= - x² - 4x 

Выполняем вычисление по формуле S = _D~~dxdy (двойной интеграл записывается как две вертикальные изогнутые линии, буква D внизу).

S = _D~~dxdy = _-5 ~ ⁰ dx _(x)~^{(- x2 - 4x)} dy = _-5 ~ ⁰ dx y _x|^{- x2 - 4x} = _-5 ~ ⁰ ((- x² - 4x) - x)dx =

= _-5 ~ ⁰ (- x² - 5x)dx = - (x³)/3 _-5|⁰  (-5x²/2) _-5|⁰ = - 125/3 + 125/2 = (- 250 + 375)/6 = 125/6 = 20 5/6

Ответ: Площадь ограниченная линиями  y = - x² - 4x и y = x равна 20 5/6.

Найдем точки пересечения графиков функций, для этого приравняем их функции:-x^2 - 4x = x-x^2 -3x = 0x * (x + 3) = 0x1 = 0; x2 = -3.Тогда площадь S ограниченная параболой прямой будет равна разности интегралов:S = ∫ (-x^2 - 4x) * dx|-3;0 - ∫x * xd |-3;0 = (-1/3 * x ^3 - 2 * x^2) |-3;0 - 1/2 * x ^2| -3;0 = -1/3 * (-27) + 2 * 9 - 1/2 * (9) = 27 - 4,5 = 22,5