Разность оснований равнобедренной трапеции равна 14 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла. Найти площадь

Перед решением необходимо сделать рисунок трапеции.

Введем обозначения. Пусть АВСД - трапеция, АД и ВС - основания трапеции, АВ = СД. СА - биссектриса тупого угла С. АД - ВС = 14 см, Р_авсд = 86 см.

Найти: S_авсд - ?

• У трапеции основания параллельны;
• Внутренние накрест лежащие углы равны;
• У равнобедренного треугольника углы при основании равны;
• Периметр - это сумма длин всех сторон;
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
• Биссектриса угла делит угол на два равных угла;
• Высоты трапеции отсекают от большего основания равные части.

Обозначим меньшее основание ВС за х, тогда основание АД будет равно (х + 14).

В трапеции АВСД угол ВСА = углу САД (внутренние накрест лежащие углы при параллельных АД и ВС и секущей АС). Так как угол ВСА = АСД (СА - биссектриса), значит угол АСД = углу САД. Отсюда следует, что треугольник АСД равнобедренный, а значит, СД = АД = (х + 14).

Тогда периметр трапеции равен х + (х + 14) + (х + 14) + (х + 14) = 86

Решаем это уравнение.

4х + 42 = 86

4х = 86 - 42

4х = 44

х = 11 (см) это меньшее основание трапеции ВС.

11 + 14 = 25 (см) это основание АД.

Рассмотрим треугольник СДН:

угол Н = 90 градусов (СН - высота), значит треугольник СДН прямоугольный,

СД = АД = 25 см.

ДН = (25 - 11) : 2 = 7 см.

По теореме Пифагора: СД² = СН² + ДН²

Отсюда: СН² = СД² - ДН² 

СН² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576

СН = 24 (см)

Площадь трапеции находится по формуле

S = (a + b)/2 * h, где S - площадь трапеции, a и b - основания, h - высота трапеции.

Основания трапеции равны 11 и 25 см, высота равна 24 см. Подставим значения и найдем площадь.

S = (11 + 25)/2 * 24 = 36/2 * 24 = 18 * 24 = 432 см².

Ответ: площадь трапеции равна 432 см².

http://bit.ly/2hzwosV

Дано: АВ = CD, так как трапеция АВСD - равнобедренная;

Равсд = 86 см,

АD (b) - BC (a) = 14 см.

Найти: Sabcd = ?

Решение:

1)  ∠CAD = ∠BCA как накрестлежащие при диагонали АС. Так как АС является биссектрисой угла С, а значит делит его пополам, то ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD.

2) Так как ∠CAD = ∠ACD, то ΔACD - равнобедренный по двум равным углам, значит АD = CD. А поскольку CD = AB, то AD = CD = AB = b.

3) Pabcd = b + b + b + a = 86 см.

Составим систему уравнений:

3b + a = 86,

b - a = 14.

3b + a + b - a = 86 + 14,

4b = 100,

b = 25.

Значит, AD=CD=AB = b = 25 см;

Так как АD (b) - BC (a) = 14 см, то ВС (а) = АD - 14 = 25 - 14 = 11 см.

4) АН = (b - a)/2 = (AD - BC)/2 = (25 - 11)/2 = 14/2 = 7 см.

5) ΔAВН - прямоугольный. По теореме Пифагора:

ВН^2 = АВ^2 - АН^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 кв.см.

BH = √576 = 24 см.

6) Sabcd = (a + b)/2 *h = (BC + AD)/2 * BH = (11 + 25)/2 * 24 = 36/2 * 24 = 18 * 24 = 432 кв.см.

Ответ: 432 кв.см.