Упростите выражение cos2a/cosa-sin2a/sina

   1. Для удобства преобразований обозначим выражение Z:

      Z = cos(2a) / cosa - sin(2a) / sina.

   2. Применим формулы двойных углов для тригонометрических функций синуса и косинуса к этому выражению:

      sin(2x) = 2sinx * cosx;

      cos(2x) = 2cos^2(x) - 1;

      Z = (2cos^2(a) - 1) / cosa - 2sina * cosa / sina;

      Z = 2cos^2(a) / cosa - 1 / cosa - 2sina * cosa / sina.

   3. Сократим дроби и приведем подобные члены:

      Z = 2cosa - 1 / cosa - 2cosa;

      Z = -1 / cosa.

   Ответ: -1 / cosa.

 

  Приведение к общему знаменателю

   Для удобства преобразований обозначим заданное тригонометрическое выражение через Z и приведем дроби к общему знаменателю:

• Z = cos(2a)/cosa - sin(2a)/sina;
• Z = (sina * cos(2a))/(sina * cosa) - (cosa * sin(2a))/(cosa * sina);
• Z = (sina * cos(2a) - cosa * sin(2a))/(sina * cosa).

  Формулы сложения основных тригонометрических функций

   Выделяют следющие формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. Все формулы симметричны относительно двух углов, за исключением котангенса, для  которого углы идут в обратном порядке:

• sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ; (1)
• sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ; (2)
• cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ; (3)
• cos(α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ; (4)
• tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 - tgα * tgβ); (5)
• tg(α - β) = (tgα - tgβ)/(1 + tgα * tgβ); (6)
• ctg(α + β) = (ctgβ * ctgα - 1)/(ctgβ + ctgα); (7)
• ctg(α - β) = (ctgβ * ctgα + 1)/(ctgβ - ctgα). (8)

  Синус разности двух углов

   Применим вторую формулу для синуса разности двух углов к числителю дроби:

• Z = sin(a - 2a)/(sina * cosa);
• Z = sin(-a)/(sina * cosa).

   Поскольку синус - нечетная функция: sin(-a) = -sina, то, изменив  знак функции и сократив дробь, получим:

• Z = -sina/(cosa * sina);
• Z = -1/cosa;
• cos(2a)/cosa - sin(2a)/sina = -1/cosa.

   Ответ: -1/cosa.