Покажите, что многочлен Х^8+Х^6-4Х^4+2Х^3+5 не имеет отрицательные значения.

Для того, чтобы доказать, что некоторый многочлен не имеет отрицательных значений, и как следствие всегда положительный, нужно выделить в предложенном многочлене квадрат выражения, или сумму нескольких квадратов выражений.

Пробуем выделить квадрат двучлена с x^8, как (x^4)^2, но x^4 имеет коэффициент равный 4, а это удвоенное произведение 2 * 2, значит, второе число будет 2^2 = 4. Тогда получим первый многочлен:

x^8 + x^6 - 4 * x^4 + 2 * x^3 + 5 =  (x^8 - 4 * x^4 + 4) + (x^6 + 2 * x^3 + 1).

Первая скобка представляет собой квадрат разности чисел, и вторая скобка тоже квадрат суммы чисел.

(x^4 - 2)^2 + (x^3 + 1)^2, каждая из скобок больше или равна 0, значит и сумма двух положительных выражений тоже больше или равна 0.