в каких границах изменяется переменная y=sinx+cosx когда x меняется вдоль вещественной оси

Возведя уравнение в в квадрат, получим:

y^2 = (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x) + cos^2(x) + 2 sin(x)* cos(x).

Используя основное геометрическое тождество, получаем:

y^2 = 1 + 2sin(x) * cos(x) = 1 + sin(2x).

y = √(1 + sin(2x).

Так как по определению sin(2x) изменяется от -1 до 1, то y будет изменяться от 0 до √2.