проведите исследование функции (х+1)^2(2-х)

1) Найдем область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число;

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; (х + 1)^2(2 - х) = 0.

х + 1 = 0; х = -1.

2 - х = 0; х = 2.

График функции пересекает ось х в точках -1 и 2.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0;

у = (0 + 1)^2(2 - 0) = 1 * 2 = 2.

Точка пересечения с осью у (0; 2).

3) Определим четность функции.

f(x) = (х + 1)^2(2 - х);

f(- x) = (-х + 1)^2(2 - (-х)) = (1 - х)^2(2 + х).

f(x) не равно f(- x), f(x) не равно - f(- x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график пересекает ось х в точках -1 и 2.

(-∞; -1) пусть  х =-2; у = (-2 + 1)^2(2 - (-2)) = 1 * 4 = 4, положительное число.

(-1; 2) пусть х = 0; у = (0 + 1)^2(2 - 0) = 1 * 2 = 2, положительное число.

(2; +∞) пусть х = 3; (3 + 1)^2(2 - 3) = 16 * (-1) = -16, отрицательное число.

у > 0 на промежутках (-∞; -1) и (-1; 2);

у < 0 на промежутке (2; +∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции:

f(x) = (х + 1)^2(2 - х);

f`(x) = ((х + 1)^2)`(2 - х) + (х + 1)^2(2 - х)` = 2(х + 1) * (х + 1)`* (2 - х) + (х^2 + 2х + 1) * (-1) = (2х + 2)(2 - х) - (х^2 + 2х + 1) = 4х + 4 - 2х^2 - 2х - х^2 - 2х - 1 = -3х^2 + 3.

Приравняем производную к нулю.

-3х^2 + 3 = 0;

-3х^2 = -3;

х^2 = 1;

х = √1; х = -1 и х = 1.

(-∞; -1) пусть х = -2; -3 * (-2)^2 + 3 = -3 * 4 + 3 = -9. Производная (-), функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0; -3 * 0^2 + 3 = 0 + 3 = 3. Производная (+), функция возрастает.

(1; +∞).пусть х = 2; -3 * 2^2 + 3 = -12 + 3 = -9. Производная (-), функция убывает.

Значит, х = -1 и х = 1 это точки экстремума.

х = -1 это точка минимума, х = 1 это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

х = -1; у = (х + 1)^2(2 - х) = (-1 + 1)^2(2 - (-1)) = 0 * 3 = 0.

х = 1; у = (1 + 1)^2(2 - 1) = 4 * 1 = 4.

Экстремумы функции у = 0 и у = 4.