Докажите что значение выражения х^2+2y^2+2xy+6y+10 положительно при любых значениях переменных х и у

Используя формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2 * a * b + b², преобразуем исходное выражения, выделив в его составе два полных квадрата:

х² + 2y² + 2xy + 6y + 10 = х² + y² + y² + 2xy + 6y + 10 = х² + 2xy + y² + y² + 6y + 10 =  х² + 2xy + y² + y² + 6y + 9 + 1 =  (х² + 2xy + y²) + (y² + 6y + 9) + 1 = (х + у)² + (у + 3)² + 1.

Полученное выражение является суммой выражения х + у в квадрате, выражения у + 3 в квадрате и положительного числа 1.

Поскольку квадрат любого числа всегда больше или равен нуля, то сумма двух квадратов и положительного числа всегда больше нуля.