Проведите исследование функции (х+1)^2(2-х)

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = (x + 1)²(2 – х).

(x + 1)²(2 – х)= 0;

 x + 1 = 0; х = -1.

2 – х = 0; х = 2.

График функции пересекает ось х в точках -1 и 2.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (x + 1)²(2 – х) = (0 + 1)²(2 – 0) = 1 * 2 =  2.

График пересекает ось у в точке 2.

3) Определим четность функции.

f(x) = (x + 1)²(2 – х).

f(- x) = (-x + 1)²(2 – (-х)) = (1 – х)²(2 + х).

Так как f(x) не равно f(-x) и f(x) не равно -f(-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках -1 и 2.

Определим знаки функции на каждом промежутке:

(-∞; -1) пусть х = -2; у = (-2 + 1)²(2 – (-2)) =(-1)² * 4 = 4 (знак +).

(-1; 2) пусть х = 0, у = (0 + 1)²(2 – 0) = 1 * 2 =  2 (знак +).

(2; +∞) пусть х = 3, у = = (3 + 1)²(2 – 3) = 16 * (-1) -16 (знак -).

у > 0  на промежутках (-∞; -1) и (-1; 2).

у < 0 на промежутке (2; +∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = (x + 1)²(2 – х).

f\' (x) = ((x + 1)²)\' * (2 – х) + (x + 1)² * (2 – х)\' = 2(х + 1)(2 – х) - (x + 1)² = (2х + 2)(2 – х) – (х² + 2х + 1) = 4х + 4 – 2х² - 2х - х² - 2х – 1 = -3х² + 3.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0;

-3х² + 3= 0;

-3х² = -3;

х² = -3/(-3)= 1.

х = -1 и х = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 1, определяем знаки промежутков:.

(-∞; -1) пусть х = -2, -3 * (-2)² + 3 = -12 + 3 = -9, производная (-), функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0, -3 * 0² + 3 = 0, производная (+), функция возрастает.

 (1; +∞) пусть х = 2, -3 * 2² + 3 = -12 + 3 = -9, производная (-), функция убывает.

Значит, точки -1 и 1 - это точки экстремума.

х_min = -1,

х_max = 1.

Найдем экстремумы функции:

y = (x + 1)²(2 – х).

х_min = -1;

у = (-1 + 1)²(2 – (-1)) = 0.

х_max = 1;

у=  (1 + 1)²(2 – 1) = 4 * 1 = 4.