Какие размеры должен иметь цилиндр,площадь полной поверхности которого 96 Pi см ^2 ,чтобы его объем был наибольшим?

Sпол = 96 *П.

V = max.

h - ?

r - ?

1. Площадь полной поверхности цилиндра Sпол определяется формулой: Sпол = 2 *Sосн + Sбок, где Sосн - площадь основания цилиндра, Sбок - площадь боковой поверхности.
2. Sосн = П *r^2, где r - радиус основания цилиндра.
3. Sбок = 2 *П *r *h, где h - высота цилиндра.
4. Sпол = 2 * П *r^2 + 2 *П *r *h.

96 *П = 2 * П *r^2 + 2 *П *r *h.

48 *П = П *r^2 + П *r *h.

1. Выразим высоту цилиндра: h = (48 - r^2) /*r.
2. Выразим П *r *h = 48 *П - П *r^2.
3. Выразим объем цилиндра: V = П *r^2 *h = (48 *П - П *r^2) *r = 48 *П *r - П *r^3.
4. Возьмем производную от объема по радиусу: V\" = 48 *П - 3 *П *r^2. 
5. Для нахождения точек максимума найдем нули функции.

48 *П - 3 *П *r^2 = 0;

3 *П *r^2 = 48 *П;

r^2 = 48 *П/3 *П;

r = √16;

r = 4.

1. Найдем высоту цилиндра по формуле:  h = (48 *П - П *r^2) /П *r.

 h = (48 - 16)/ 4 = 8.

Ответ: при r = 4, h = 8 объем цилиндра будет максимальный.