треугольнике с вершинами в точках M (2;3), N(-4;6) и K(5;-1), определите косинус угла M.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками А и B на координатной плоскости с координатами А(х1;у1) и B(х2;у2):

|AB| = √((х1 - х2)² + (у1 - у2)²),

и найдем длины всех трех сторон данного треугольнике с вершинами в точках M (2;3), N(-4;6) и K(5;-1):

|MN| = √((2 - (-4))² + (3 - 6)²) = √((2 + 4)² + (3 - 6)²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45;

|NK| = √((-4 - 5)² + (6 - (-1))²) = √((-4 - 5)² + (6 + 1)²) = √(9² + 7²) = √(81 + 49) = √130.

|MK| = √((2 - 5)² + (3 - (-1))²) = √((2 - 5)² + (3 + 1)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Используя теорему косинусов, находим косинус угла M

|NK|² = |MN|² + |MK|² - 2 *|MN| * |MK| * cosM.

Подставляя найденные значения |MN|, |NK| и |MK|, получаем:

(√130)² = (√45)² + 5² - 2 * √45 * 5 * cosM;

130 = 45 + 25 - 10√45 * cosM;

130 = 70 - 10√45 * cosM;

10√45 * cosM = 70 - 130;

10√45 * cosM = -60;

 cosM = -60 / 10√45;

 cosM = -6/√45;

cosM = -6/3(√5);

cosM = -2/√5;

cosM = -2√5/5.

Ответ: cosM = -2√5/5.