5sin3x + cos6x + 6 = 0

5 * sin 3x + cos 6x + 6 = 0; 

5 * sin 3x + cos ^ 2 3x - sin ^ 2 3x + 6 = 0;  

5 * sin (3 * x) + 1 - sin ^ 2 (3 * x) - sin ^  (3 * x) + 6 = 0; 

- 2 * sin ^ 2 (3 * x) + 5 * sin (3 * x) + 7 = 0; 

2 * sin ^ 2 (3 * x) - 5 * sin (3 * x) - 7 = 0; 

Пусть sin (3 * x) = a, тогда получим: 

2 * a ^ 2 - 5 * a - 7 = 0; 

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4·2·(-7) = 25 + 56 = 81; 

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: 

a₁ = (5 - √81)/(2·2) = (5 - 9)/4 = -4/4 = - 1;  

a₂ = (5 + √81)/(2·2) = (5 + 9)/4 = 14/4 = 3.5; 

Тогда:

1) sin (3 * x) = - 1; 

3 * x = - pi/2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z; 

x = - pi/6 + 2 * pi/3 * n, где n принадлежит Z; 

2) sin (3 * x) = 3.5; 

Нет корней; 

Ответ: х = - pi/6 + 2 * pi/3 * n, где n принадлежит Z.