В треугольнике ABC с прямым углом C медиана CM равна 10 корней из 3. Окружность, вписанная в треугольник ACM, касается

 Необходимо вспомнить:

• медиана, проведенная из прямого угла рана половине гипотенузы;
• отрезки касательных, проведенных из точки вне окружности до точек касания с окружностью равны;
• теорема Пифагора - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Приступим:

• АВ = 2СМ = 20√3;
• СМ = АМ  - ∆АМС - равнобедренный и радиус вписанной окружности лежит на медиане МК (КС = КА);
• РА = 1/4 АВ = 1/4 * 20√3 = 5√3;
• РА =  АК = 5√3;
• АС = 10√3;
• ВС = √(АВ^2 - AC^2) = √((20√3)^2 - (10√3)^2) = √(1200 - 300) = √900 = 30.