Решите систему методом замены переменной (ху)^2-3ху=18 4х+у=1

(ху)^2 - 3ху = 18; 4х + у = 1.

Выразим из второго уравнения у:

4х + у = 1; у = 1 - 4х.

Подставим выраженное значение у = 1 - 4х в первое уравнение:

(х(1 - 4х ))^2 - 3х(1 - 4х) = 18.

Введем новую переменную, пусть х(1 - 4х) = а.

Получается уравнение:

а^2 - 3а - 18 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 3; х₁ * х₂ = -18.

Корни равны 6 и (-3), то есть а = 6 и а = -3.

Вернемся к замене х(1 - 4х) = а.

1) а = 6; х(1 - 4х) = 6; х - 4х^2 - 6 = 0; -4х^2 + х - 6 = 0;

умножим на (-1): 4х^2 - х + 6 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 4; b = -1; c = 6;

D = b^2 - 4ac; D = (-1)^2 -  4 * 4 * 6 = 1 - 96 = -95 (D < 0, нет корней).

2) а = -3; х(1 - 4х) -3; х - 4х^2 + 3 = 0; -4х^2 + х + 3 = 0; 

умножим на (-1): 4х^2 - х - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 4; b = -1; c = -3;

D = b^2 - 4ac; D = (-1)^2 -  4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (1 - 7)/(2 * 4) = -6/8 = -3/4.

х₂ = (1 + 7)/8 = 8/8 = 1.

Вычислим значение у: у = 1 - 4х;

х₁ = -3/4; у₁ = 1 - 4 * (-3/4) = 1 + 3 = 4.

х₂ = 1; у₂ = 1 - 4 * 1 = 1 - 4 = -3.

Ответ: (-3/4; 4) и (1; -3).