Известно, что p и 8p^2+1 – простые числа. Найти число p .

   1. Обозначим второе число:

      q = 8p^2 + 1.

   2. Проверим первые два простых числа:

   a) p = 2;

      q = 8p^2 + 1 = 8 * 2^2 + 1 = 33 - составное число;

   b) p = 3;

      q = 8p^2 + 1 = 8 * 3^2 + 1 = 73 - простое число.

   3. Любое простое число, превосходящее 3, можно представить в виде:

      p = 6k ± 1, k ∈ N.

   4. Составим сравнения по модулю 3:

• 6k ≡ 0 (mod 3);
• 6k ± 1 ≡ ±1 (mod 3);
• p ≡ ±1 (mod 3);
• p^2 ≡ 1 (mod 3);
• 8p^2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3);
• 8p^2 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3);
• q ≡ 0 (mod 3). (1)

   5. Из сравнения (1) следует, что q делится на 3, следовательно, единственное решение:

      p = 3.

   Ответ: 3.