Биссектрисы углов A и D параллелограмма­ ABCD пересекаются в точке M, лежащей на­ стороне BC . Луч DM пересекает пря­мую

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NkNXKw).

По свойству биссектрис параллелограмма они отсекают от боковых сторон равнобедренные треугольники, следовательно, треугольники АВМ и ДСМ равнобедренные. Тогда АВ = ВМ, СД = СМ, а так как у параллелограмма боковые стороны равны,  то АВ = СД = ВМ = СМ, а ВС = ВМ + СМ = 2 * АВ.

Пусть сторона АВ = Х см, тогда, ВМ = Х см, ВС = АД = 2 * Х см, а ВN = (10 – Х) см.

Докажем, что треугольники АNД и BNM подобны.

Угол N у треугольников общий, угол NАД равен углу NВМ как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей AN. Тогда треугольники АNД и BNM подобны по первому признаку подобия – двум углам.

Тогда:

АД / ВМ = AN / BN.

2 * Х / Х = 10 / (10 – Х).

10 * Х = 20 * Х – 2 * Х².

10 = 20 – 2 * Х.

2 * Х = 10. Х = 10 / 2 = 5 см.

АВ = СД = 5 см.

ВС = АД = 2 * 5 = 10 см.

Определим периметр параллелограмма.

Р = 2 * (АВ + ВС) = 2 * (5 + 10) = 30 см.

Ответ: периметр равен 30 см.