В выпуклом четырёхугольнике АBCD углы A и D равны,а серединные пенпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются на стороне

https://bit.ly/2OVwOvA

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Построим серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD.

Так как они пересекаются в точке O на стороне AD, то OM и ON - серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD.

По свойству серединного перпендикуляра имеем, что:

OA = OB и OC = OD.

Следовательно, треугольники ABO и CDO - равнобедренные и углы:

OAB = OBA и OCD = ODC.

По условию задачи имеем, что OAB = ODC. Следовательно:

OAB = OBA = OCD = ODC. Значит, AOB = 180 - 2 * OAB = 180 - 2 * ODC = COD.

Тогда угол COA = AOB + BOC = COD + BOC = BOD.

По теореме косинусов для треугольника AOC имеем:

AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 * OA * OC * cos(COA)

По теореме косинусов для треугольника ABD имеем:

BD^2 = OB^2 + OD^2 - 2 * OB * OD * cos(BOD).

Из полученных уравнений вытекает, что AC^2 = BD^2 и AC = BD, что и требовалось доказать.