Доказать что для n принадлежащего N справедливо равенство 1*2+2*3+..+n(n+1)=n(n+1)(n+2)\3

Докажем справедливость данного равенство, используя метод математической индукции.

1)

Проверим, выполняется ли данное равенство при n = 1.

Подставляя данное значение n левую часть равенства, получаем:

1 * 2 = 2.

Подставляя данное значение n правую часть равенства, получаем:

1 * (1 + 1) * (1 + 2)\\3 = 1 * 2 * 3 / 3 = 2.

Следовательно, данное равенство выполняется при n = 1.

2) Предположим, что данное равенство выполняется для n = k:

1 * 2 + 2 * 3 +..+ k * (k + 1) =  k * (k + 1) * (k + 2) / 3.

Проверим, выполняется ли данное равенство при n = k + 1:

1 * 2 + 2 * 3 +..+ k * (k + 1) + (k + 1) * (k + 2) = k * (k + 1) * (k + 2) / 3 + (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (1/3 + k) = (k + 1) * (k + 2) * (3 + k)/3 = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) / 3.

Следовательно,  данное равенство выполняется для при n = k + 1.

Тогда, согласно методу математической индукции,  данное равенство выполняется для всех натуральных значений n.