Исследовать функцию на монотонность y=x^5+3x^3+12x

Исследуем функцию y = x^5 + 3x^3 + 12x с помощью производной.

y\' = 5x^4 + 9x^2 + 12;

5x^4 + 9x^2 + 12 = 0;

введем новую переменную x^2 = y;

5y^2 + 9y + 12 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 9^2 - 4 * 5 * 12 = 81 - 96 < 0, если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет корней.

Так как производная функции не имеет корней, то она не имеет точек пересечения с осью ох, а, следовательно, функция y = x^5 + 3x^3 + 12x не имеет экстремумов, т.е. точек максимума и минимума. Эта функция будет либо возрастающей, либо убывающей на всей числовой прямой.

Производная функции 5x^4 + 9x^2 + 12 > 0 при любых значения х. Если производная функции принимает положительные значения на каком-либо интервале, то на этом интервале сама функция будет возрастающей. 

Ответ. Функция возрастает на (-∞; +∞).