Если велосипедист увеличит скорость на 9 км/ч, то получит выигрыш во времени 27 минут при прохождении некоторого пути.

1. Пусть велосипедист едет со скоростью V км/час, длина пути составляет S км, а проезжает он это время за t часов, при этом по формуле пути S = V * t.

2. По условию задачи, если велосипедист поедет со скоростью (V + 9) км/ч, то проедет расстояние S на 27 минут быстрее, т.е. за (t - 27 / 60) часов.

3. Если же велосипедист поедет со скоростью (V - 5) км/ч, то проедет расстояние S на 29 минут медленнее, т.е. за (t + 29 / 60) часов.

4. Запишем систему уравнений:

V * t = S;

(V + 9) * (t - 27 / 60) = S;

(V - 5) * (t + 29 / 60) = S;

5. Раскроем скобки в двух последних уравнениях:

V * t + 9 * t - 27/60 * V - 243 / 60 = S;

V * t - 5 * t + 29/60 * V - 145 / 60 = S;

6. Произведем замену V * t = S и избавимся от дробей и общего множителя, получим:

20 * t - V - 9= 0;

-5 * 60 * t + 29 * V - 145 = 0;

7. Выразим из первого уравнения V = 20 * t - 9 и подставим его во второе уравнение, тогда получим:

-300 * t + 29 * ( 20 * t - 9) - 145 = 0;

280 * t = 406;

t = 29 / 20 часов.

8. Тогда скорость велосипедиста V = 20 * t - 9 = 20 км/ч, а длина пути S = V * t = 29 км.

Ответ: скорость велосипедиста 20 км/ч, длина пути 29 км.