Вычислить S( сумму ) ∑ 1/n(n+1)(n+2)

Предположим, что 1 / n * (n + 1) * (n + 2) разлагается на слагаемые:

1 / n * (n + 1) * (n + 2) = A / n + B /(n + 1) + C /(n + 2).

Найдем такие A, B и С, чтобы разложение стало верным.

Умножим обе части уравнения на n * (n + 1) * (n + 2):

1 = (n + 1) * (n + 2) * A + n * (n + 2) * B + n * (n + 1) * C,

1 = n^2 * (A + B + C) + n * (3 * A + 2 * B + C) + 2 * A.

Сравнивая значения коэффициентов получаем:

2 * A = 1, A + B + C = 0, 3 * A + 2 * B + C = 0. Откуда:

A = 1/2, B = - 1, C = 1/2. 

Получили разложение:

1 / n * (n + 1) * (n + 2) = (1 / 2) * 1 / n -  1 / (n + 1) + (1 / 2) * 1 /(n + 2) =

= (- 1 / 2) * ( 1 / (n + 1) - 1 / n) + (1 / 2 ) * (1 / (n + 2) - 1 / (n + 1)).

Выписав все члены суммы и проведя сокращения, для N членов получаем:

∑ 1 / n * (n + 1) * (n + 2) = 1 / 2 - 1 / 2  * (N + 1)  + 1 / 2  * (N + 2)  - 1 / 4 =

= 1/ 4 - 1 / 2  * (N + 1)  + 1 / 2  * (N + 2).