Если разделить некое трёхзначное число на 7, то будет остаток 2. Если разделить на 8, остаток будет 3, а если на 11,

Обозначим искомое число через А.

По условию задачи известно, что А при делении на 7 даёт в остатке 2, при делении на 8 даёт в остатке 3 и при делении на 11 даёт в остатке 6. Тогда число А можно представить следующим образом:

А = 7 * a + 2 = 8 * b + 3 = 11 * c + 6.

Имеем:

7 * a + 2 = 8 * b + 3, 7 * a - 8 * b = 1.

8 * b + 3 = 11 * c + 6, 8 * b - 11 * c = 3.

7 * a + 2 = 11 * c + 6, 7 * a - 11 * c = 4.

Получили 3 диофантова уравнения.

7 * a - 8 * b = 1.

Частное решение: (-1, -1).

Общее решение: 

а = -1 + 8 * n,

b = -1 + 7 * n.

8 * b - 11 * c = 3.

Частное решение: (-1, -1).

Общее решение:

b = -1 + 11 * m,

c = -1 + 8 * m.

7 * a - 11 * c = 4.

Частное решение: (-1, -1).

Общее решение:

a = -1 + 11 * k,

c = -1 + 7 * k.

Из полученных решений имеем:

a = -1 + 8 * n = -1 + 11 * k,

8 * n = 11 * k. k делится на 8. Значит, k = 8 * p, n = 11 * q.

Значит, a = -1 + 8 * 11 * q = 88 * q - 1.

A = 7 * a + 2 = 7 * (88 * q - 1) + 2 = 7 * 88 * q - 5 = 616 * q - 5.

Так как А - трехзначное число, то

100 <= А <= 999,

100 <= 616 * q - 5 <= 999.

Очевидно, что q = 1 - единственное решение в целых числах.

Следовательно, A = 616 * 1 - 5 = 611.

Ответ: 611.