Чему равна площадь треугольника ABC: а) С=90 градусов,СH перпендикулярно AB(BC=корень из 5,BH=1x,ah=4x); б) ab=3, ac=7,

1).

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/368aQv4).

Применим формулу высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

СН = √(АН * ВН).

СН = √(4 * Х * Х) = √(4 * Х²) = 2 * Х см.

СН² = 4 * Х². (1)

Выразим, по теореме Пифагора, катет СН из треугольника ВСН.

СН² = ВС² – ВН² = (√5)² – Х² = 5 – Х². (2)

Приравняем равенства 1 и 2.

4 * Х² = 5 – Х².

5 * Х² = 5.

Х = 1 см.

ВН = 1 см, АН = 4 см, АВ = 5 см.

Тогда СН² = 4 * 1 = 4.

СН = 2 см.

Sавс = АВ * СН / 2 = 5 * 2 / 2 = 5 см².

Ответ: Sасв = 5 см².

2).

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2MZws5v).

Применим теорему косинусов для треугольника.

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 * АВ * ВС * Cos120.

49 = 9 + ВС² – 2 * 3 * ВС * (-1/2).

49 = 9 + ВС2 + 3 *ВС.

 ВС² + 3 * ВС – 40 = 0.

Решим квадратное уравнение.

ВС = 5 см.

Тогда Sавс = АВ * ВС * Sin120 = 3 * 5 * √3 / 2 = 15 * √3 / 2 см².

Ответ: Sавс = 15 * √3 / 2 см².

 3).

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2q1jw5V).

Применим формулу длины медианы для треугольника.

АМ = (√(2 * АВ² + 2 * АС² – ВС²)) / 2.

2 * АМ = √(2 * АВ² + 2 * АС² – ВС²).

2 * 4 = √(2 * 49 + 2 * 25 – ВС²).

8 = √(148 – ВС²).

Возведем обе стороны в квадрат.

64 = 148 – ВС².

ВС² = 84.

Построим высоту СН и выразим ее из прямоугольных треугольников АСН и ВСН.

Пусть АН = Х см, тогда ВН = (7 + Х) см.

СН² = АС² – АН² = 25 – Х².

СН² = ВС² – ВН² = 84 – Х2.

Тогда 25 – Х² = 84 – (7 + Х)².

25 – Х² = 84 – 49 – 14 * Х – Х².

14 * Х = 10.

Х = АН = 10 / 14 = 5/7 см.

Тогда СН² = 25 – 25/49 = 25 * (49 – 1) / 49.

СН = 5 * √48 / 7 = 20 * √3 / 7.

Тогда Sавс = АВ * СН / 2 = (7 * (20 * √3) / 7) / 2 =  10 * √3 см².

Ответ: Sавс = 10 * √3 см².