Исследуйте функцию f(x)=2x+1/x

f(x) = 2x + 1/x

1. Найдем область определения и область значений.

D(f) = R, кроме х = 0 (на ноль делить нельзя) 

E(f) = R, кроме у= 0 (см. пункт 2)

2. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0

2x + 1/x = 0

(2х² + 1)/х = 0

2х² + 1 = 0

2х² = - 1

х² = - 1/2  такого не может быть

График функции не пересекает ось х

3. Определим четность функции.

f(x) = 2x + 1/x

f(- x) = 2(-x) + 1/(- x) = - 2x - 1/x = - (2x + 1/x)

 f(x) равно - f(- x), значит функция нечетная.

4. Определим промежутки знакопостоянства.

Так как нет точек пересечения с осью х, то проверяем знак функции так: берем положительное значение х и подставляем в формулу.

х > 0 , y > 0 при положительных значениях х

x < 0, y < 0 при отрицательных значениях х.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции

f(x) = 2x + 1/x

f`(x) = 2 - 1/х²

Приравняем производную к нулю.

2 - 1/х² = 0

1/х² = 2

х² = 1/2

х не равен 0.

х = квадратный корень из 1/2 

х = - квадратный корень из 1/2 

Определяем знак производной

(- бесконечность; - кв.корень от 1/2) производная положительна, функция возрастает

(- кв.корень из 1/2; 0) производная отрицательна, функция убывает

(0; кв.корень из 1/2) производная отрицательна, функция убывает

(кв.корень из 1/2; + бесконечность) производная положительна, функция возрастает

6. Экстремумы функции

х_min = кв.корень из 1/2

x_max = - кв.корень из 1/2