Найти наибольшее и наименьшее значение функции на даном промижутке: f(x)=x^3-6x^2+9x [-4;0]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x, на промежутке [-4; 0].

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции.

f’(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x)’ = 3x^2 – 12x + 9.

Точки экстремума

f’ = 0:

3x^2 – 12x + 9= 0,

3 (x^2 – 4x + 3) = 0,

3 (х – 3) (х – 1) = 0,

x = 1,

x = 3.

Получим: х = 1 и x = 3 – точки экстремума функции.

При х < 1, f’ > 0, функция возрастает.

При 1 < х < 3, f’ < 0, функция убывает.

При х > 3, f’ > 0, функция возрастает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Точки х = 1 и x = 3 не принадлежат промежутку [-4; 0], поэтому рассмотрим только значения функции на концах промежутка.

При х = -4, f (x) = (-4)^3 – 6 * (-4)^2 + 9 * (-4) = -64 – 96 – 36 = -196.

При х = 0, f (x) = 0^3 – 6 * 0^2 + 9 * 0 = 0.

Таким образом, fнаим = f (-4) = -196, fнаиб = f (0) = 0.

Ответ: fнаим = -196, fнаиб = 0.