A) 2cosx*cos4x - cosx=0 б)cos^2(x/2) - cos2x = 1,25 в)9^(x-1/2) - 4*3^(x-1) +1 = 0 г)log3 (2x-1) - 2log3(2x+5) = log1/2(8)

а) Вынесем за скобку cosx:

2cosxcos4x - cosx = 0.

cosx(2cos4x - 1) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

cosx = 0; х = П/2 + Пn, n - целое число.

Или 2cos4x - 1 = 0; 2cos4x = 1; cos4x = 1/2; 4х = ±П/3 + 2Пn (поделим на 4); х = ±П/12 + П/2 * n, n - целое число.

б) cos²(x/2) - cos2x = 1,25.

Преобразуем уравнение по формулам: 

cos2a = 2cos²а - 1 и cos²а = (1 + cos2а)/2.

(1 + cosx)/2 - (2cos²х - 1) - 1,25 = 0.

(1 + cosx)/2 - 2cos²х - 0,25 = 0.

Умножим уравнение на 2:

1 + cosx - 4cos²х - 0,5 = 0.

-4cos²х + cosx + 0,5 = 0.

Умножим уравнение на (-2):

8cos²х - 2cosx - 1 = 0.

Пусть cosx = а.

8а² - 2а - 1 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

а₁ = (2 - 6)/16 = =4/16 = -1/4.

а₂ = (2 + 6)/16 = 1/2.

Вернемся к замене cosx = а.

а = -1/4; cosx = -1/4; х = ±arccos(-1/4) + 2Пn, n - целое число.

а = 1/2; cosx = 1/2; х = ±П/3 + 2Пn, n - целое число.

в) Распишем составные степени:

9^{(x - 1/2)} - 4 * 3^{(x - 1)} + 1 = 0.

9^x * 9^(-1/2) - 4 * 3^x * 3^(-1) + 1 = 0.

(3²)^x * 1/√9 - 4 * 3^x * 1/3 + 1 = 0.

1/3 * (3^х)² - 4/3 * 3^х + 1 = 0.

Пусть 3^х = а.

1/3 а² - 4/3 а + 1 = 0.

Умножим уравнение на 3:

а² - 4а + 3 = 0.

D = 16 - 12 = 4 (√D = 2);

а₁ = (4 - 2)/2 = 1.

а₂ = (4 + 2)/2 = 3.

Вернемся к замене 3^х = а.

а = 1; 3^х = 1; 3^х = 3⁰; х = 0.

а = 3; 3^х = 3; 3^х = 3¹; х = 1.

г) Рассмотрим ОДЗ:

2х - 1 > 0; 2х > 1; x > 1/2.

2x + 5 > 0; 2x > -5; x > -2,5.

Воспользуемся свойствами логарифмов:

log₃(2x - 1) - 2log₃(2x + 5) = log_1/2(8).

log₃(2x - 1) - log₃(2x + 5)² = -log₂(8).

Так как log₂(8) = 3, получается уравнение:

log₃(2x - 1) - log₃(2x + 5)² = -3.

Представим (-3) как логарифм с основанием 3:

log₃(2x - 1) - log₃(2x + 5)² = log₃(1/27).

По правилу вычитания логарифмов:

log₃(2x - 1)/(2x + 5)² = log₃(1/27).

Отсюда: (2x - 1)/(2x + 5)² = 1/27.

По правилу пропорции:

(2x + 5)² = 27(2х - 1).

4х² + 20х + 25 = 54х - 27.

4х² + 20х + 25 - 54х + 27 = 0.

4х² - 34х + 52 = 0.

Поделим уравнение на 2:

2х² - 17х + 26 = 0.

D = 289 - 208 = 81 (√D = 9);

х₁ = (17 - 9)/4 = 8/4 = 2.

х₂ = (17 + 9)/4 = 26/4 = 13/2 = 6,5.

Оба корня подходят по ОДЗ.