Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения.4sin(квадрат)x sin x cos x +4sin(квадрат) x;

   1. Обозначим заданное выражение Z и преобразуем его:

• Z = 4sin^2(x)sin(x)cos(x) + 4sin^2(x);
• Z = 2sin^2(x)(2sin(x)cos(x) + 2);
• Z = 2sin^2(x)(2 + sin(2x));
• Z = (1 - cos(2x))(2 + sin(2x)).

   2. Вычислим производную:

• Z\' = (1 - cos(2x)) * (2 + sin(2x))\' + (1 - cos(2x))\' * (2 + sin(2x));
• Z\' = (1 - cos(2x)) * 2cos(2x)) + 2sin(2x) * (2 + sin(2x));
• Z\' = 2{cos(2x) - cos^2(2x) + 2sin(2x) + sin^2(2x)};
• Z\' = 2{cos(2x) - cos(4x) + 2sin(2x)};
• Z\' = 2{2sin(x)sin(3x) + 4sin(x)cos(x)};
• Z\' = 4sin(x)(sin(3x) + 2cos(x));

      Z\' = 0;

   a) sin(x) = 0;

      x(min) = πk, k ∈ Z, точки минимума;

   Наименьшее значение функции:

      Z(min) = Z(πk) = 2sin^2(πk)(2 + sin(2πk)) = 0.

   b) sin(3x) + 2cos(x) = 0;

      Точку максимума в промежутке [0; π] найдем графическим методом (http://bit.ly/2sVG60O):

      f(x) = sin(3x) + 2cos(x) = 0;

      x(max) ≈ 1,26;

      Z(max) ≈ (1 - cos(2 * 1,26))(2 + sin(2 * 1,26)) ≈ 4.68.

   Ответ: 0 и 4,68.