Найдите корни уравнения: (х+2/x-4)²+16(x-4/x+2)²=17 (x+1/x-3)²+18(x-3/x+1)²=11

1) Разложим х - 4 по формуле разности квадратов:

((х + 2)/(x - 2)(х + 2))² + 16((x - 2)(х + 2)/(x + 2))² = 17.

Скобки (х + 2) можно сократить.

(1/(x - 2))² + 16(x - 2)² = 17.

Введем новую переменную, пусть (x - 2)² = а.

Получается уравнение 1/а + 16а - 17 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(1 + 16а² - 17а)/а = 0.

ОДЗ: а не равно 0.

16а² - 17а + 1 = 0.

D = 289 - 64 = 225 (√D = 15).

а₁ = (17 - 15)/32 = 2/32 = 1/16.

а₂ = (17 + 15)/32 = 1.

Вернемся к замене (x - 2)² = а.

а) а = 1/16;

(x - 2)² - 1/16 = 0. Разложим по формуле разности квадратов:

(х - 2 - 1/4)(х - 2 + 1/4) = 0.

х - 2,25 = 0; х = 2,25.

Или х - 1,75 = 0; х = 1,75.

б) а = 1;

(x - 2)² - 1 = 0;

(х - 2 - 1)(х - 2 + 1) = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Или х - 1 = 0; х = 1.

Ответ: корни уравнения 1, 3, 1,75 и 2,25.

2) ((x + 1)/(x - 3))² + 18((x - 3)/(х + 1))² = 11.

ОДЗ: х не равно 3 и х не равно -1.

Введем новую переменную, пусть ((x + 1)/(x - 3))² = а.

Получается уравнение а + 18/а - 11 = 0.

(а² - 11а + 18)/а = 0.

ОДЗ: а не равно 0.

а² - 11а + 18 = 0.

D = 121 - 72 = 49 (√D = 7).

а₁ = (11 - 7)/2 = 2;

а₂ = (11 + 7)/2 = 9.

Вернемся к замене.

а) а = 2.

((x + 1)/(x - 3))² = 2.

((x + 1)/(x - 3))² - (√2)² = 0.

((x + 1)/(x - 3) - √2)((x + 1)/(x - 3) + √2) = 0.

Отсюда (x + 1)/(x - 3) - √2 = 0;

(х + 1 - √2х + 3√2)/(х - 3) = 0;

х + 1 - √2х + 3√2 = 0;

х - √2х = -(3√2 + 1);

х(1 - √2) = -(3√2 + 1);

х =  -(3√2 + 1)/-(√2 - 1) = (3√2 + 1)/(√2 - 1) = (3√2 + 1)(√2 + 1)/(√2 - 1)(√2 + 1) = (6 + √2 + 3√2 + 1)/(2 - 1) = 7 + 4√2.

Или (x + 1)/(x - 3) + √2 = 0;

(х + 1 + √2х - 3√2)/(х - 3) = 0;

х + √2х = 3√2 - 1;

х(1 + √2) = 3√2 - 1;

х = (3√2 - 1)/(1 + √2) = (3√2 - 1)(1 - √2)/(1 + √2)(1 - √2) = (3√2 - 1 - 6 + √2)/(1 - 2) = (4√2 - 7)/(-1) = 7 - 4√2.

б) а = 9.

((x + 1)/(x - 3))² - 9 = 0.

((x + 1)/(x - 3) - 3)((x + 1)/(x - 3) + 3) = 0.

Отсюда (x + 1)/(x - 3) - 3 = 0;

(х + 1 - 3х + 9)/(х - 3) = 0;

-2х + 10 = 0;

-2х = -10; х = 5.

Или (x + 1)/(x - 3) + 3 = 0.

(х + 1 + 3х - 9)/(х - 3) = 0;

4х - 8 = 0;

4х = 8;

х = 2.

Ответ: корни уравнения равны 2, 5, 7 - 4√2 и 7 + 4√2.