Решить иррациональное уравнение все под √x²+ 2x+10 = 2x - 1

Решим заданное иррациональное уравнение, то есть уравнение, в котором неизвестная величина х стоит под знаком корня.

1) Возведем уравнение во вторую степень:

√(х^2 + 2х + 10)^2 = (2х - 1)^2;

х^2 + 2х + 10 = 4х^2 - 4х + 1.

2) Перенесем все члены в левую часть и приравняем значение выражения к 0:

х^2 + 2х + 10 - 4х^2 + 4х - 1 = 0.

3) Приведем подобные члены:

-3х^2 + 6х + 9 = 0.

4) Разделим все члены на -3:

х^2 - 2х - 3 = 0.

5) По теореме Виета:

х₁ + х₂ = 2;

х₁ * х₂ = -3, где х₁ и х₂ — корни приведенного квадратного уравнения.

Подбором находим, что х₁ = 3, х₂ = -1.

6) Так как при возведении уравнения в квадрат могли появиться посторонние корни, то необходимо сделать проверку.

При х = 3

√(3^2 + 2 * 3 + 10) = 2 * 3 - 1;

√(9 + 6 + 10) = 6 - 1;

√25 = 5;

5 = 5, равенство верно, то есть х = 3 — корень заданного иррационального уравнения.

При х = -1

√((-1)^2 + 2 * (-1) + 10) = 2 * (-1) - 1;

√(1 - 2 + 10) = -2 - 1;

√9 = -3;

3 = -3, равенство неверно, значит, -1 не является корнем заданного иррационального уравнения.

Ответ: х = 3.