В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на ребрах AA1 и CC1 выбраны точки M и N так, что AM:MA1=3:1 и CN:NC1=1:2. Найдите тангенс

Рисунок: http://bit.ly/2nIJ4zX. 

Прямые МN и АС находятся в одной плоскости A₁C₁CA.

Построим линию, параллельную АС так, чтобы она проходила через точку N.

<MNA₂  равен углу между MN и АС (секущая MN образует одинаковые соответственные углы  с параллельными прямыми).

AM = 3/4;

MA₁ = 1/4;

NC= 1/2.

AC = √(AD^2 + CD^2) = √(1^2 + 1^2)= √2.

А₂А = NC (противоположные стороны прямоугольника AA₂NC).

A₂M = AM - А₂А = AM - NC = 3 / 4 – 1 / 2 = 1 / 4;

tg(<MNA) = A₂M / AC = (1 / 4) / √2 = 1 / 4√2.

Ответ: <(AC,MN) = 1 / 4√2.