Решите неравенства модуль( х²-6х+8)≤4-х

|х^2 - 6х + 8| ≤ 4 - х.

Неравенства с модулем решаются так: если |x| < a, то х < а и х > -а.

Получаются два неравенства: х^2 - 6х + 8 <= 4 - х и х^2 - 6х + 8 >= -(4 - х). Решаем каждое неравенство отдельно.

1) х^2 - 6х + 8 <= 4 - х.

Переносим все в левую часть: х^2 - 6х + 8 - 4 + х <= 0;

подводим подобные члены: х^2 - 5х + 4 <= 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 - 5х + 4, квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (у = 0): х^2 - 5х + 4 = 0.

Решаем через дискриминант. D = 25 - 16 = 9 (√D = 3);

х₁ = (5 + 3)/2 = 4; х₂ = (5 - 3)/2 = 1.

Отмечаем на прямой точки 1 и 4, схематически рисуем параболу (ветви вверх). Нам нужен участок прямой, где параболе ниже прямой (<= 0).

Решением неравенства будет промежуток [1; 4].

2) х^2 - 6х + 8 >= -4 + х;

переносим все в левую часть: х^2 - 6х + 8 + 4 - х >= 0;

подводим подобные члены:  х^2 - 7х + 12 >= 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 - 7х + 12, квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (у = 0): х^2 - 7х + 12 = 0.

Решаем через дискриминант. D = 49 - 48 = 1 (√D = 1);

х₁ = (7 + 1)/2 = 4; х₂ = (7 - 1)/2 = 3.

Отмечаем на прямой точки 3 и 4, схематически рисуем параболу (ветви вверх). Нам нужен участок прямой, где параболе выше прямой (>= 0).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 3] U [4;+∞).