Вычислить производную y=2x+1/√x-1/2x√x

Найдём производную функции: y = 2x + 1 / √x – 1 / 2 x √x.

Эту функцию можно записать так:

y = 2x + x^(-1 / 2) – 1 / 2 * x^(-3 / 2)

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (2x)’ = 2 * х^(1-1) = 2 * х^0 = 2 * 1 = 2;

2) (x^(-1 / 2))’ = - 1 / 2 * х^((-1 / 2)-1) = - 1 / 2 * х^(-3 / 2);

3) (-1 / 2 * x^(-3 / 2))’ = (-1 / 2) * (-3 / 2) * х^((-3 / 2) -1) = (3 / 4) * х^(-5 / 2);

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (2x + 1 / √x – 1 / 2 x √x)’ = (2x + x^(-1 / 2) – 1 / 2 * x^(-3 / 2))’ = (2x)’ + (x^(-1 / 2))’ + (– 1 / 2 * x^(-3 / 2))’ = 2 + (- 1 / 2 * х^(-3 / 2)) + ((3 / 4) * х^(-5 / 2)) = 2 – 1 / (2√(x^3)) + 3 / (4√(x^5)).

Ответ: y\' = 2 – 1 / (2√(x^3)) + 3 / (4√(x^5)).