При каких значениях n парабола y= -x2 + (n-1)x+n целиком расположено ниже прямой y=1

    1. Парабола y = -x^2 + (n-1)x + n целиком будет расположена ниже прямой y = 1 в том случае, когда неравенство

      -x^2 + (n-1)x + n ≥ 1

не будет иметь решений.

    2. Решим неравенство:

      -x^2 + (n-1)x + n ≥ 1;

      -x^2 + (n-1)x + n - 1 ≥ 0; (1)

      D = b^2 - 4ac;

      D = (n - 1)^2 + 4(n - 1);

      D = (n - 1) * (n - 1 + 4);

      D = (n - 1) * (n + 3).

    3. Поскольку коэффициент при старшем члене выражения в левой части неравенства (1) отрицателен, то неравенство не будет иметь решений при отрицательных значения дискриминанта:

      D < 0;

      (n - 1) * (n + 3) < 0;

      n1 = -3; n2 = 1;

      n ∈ (-3; 1).

    Ответ: (-3; 1).