Найти область определения функции: y=√(x(3-x)(x-6)(x+1) )

Область определения - это все значения, которые может принимать независимая переменная х. В нашем случае подкоренное выражение не может быть отрицательным, т.к. мы можем извлекать квадратный корень только из положительного числа или нуля. Поэтому, чтобы найти область определения, надо решить неравенство:

x(3 - x)(x - 6)(x + 1) ≥ 0 - решим методом интервалов.

1) Найдем нули функции

x(3 - x)(x - 6)(x + 1) = 0;

x1 = 0; x2 = 3; x3 = 6; x4 = - 1.

2) Отметим на числовой прямой числа (- 1), 0, 3, 6. Эти числа делят прямую на 5 интервалов: 1) (- ∞; - 1], 2) [- 1; 0], 3) [0; 3], 4) [3; 6], 5) [6; +∞). 

3) Проверим знак выражения x(3 - x)(x - 6)(x + 1) на каждом интервале.На 1, 3, 5 интервалах выражение принимает отрицательные значения, на 2 и 4 - положительные. Так как наше выражение должно быть больше или равным нулю, то в ответ записываем те промежутки, на которых оно принимает положительные значения, это 2 и 4 промежутки.

Ответ. [- 1; 0] ∪ [3; 6].