2. Участок железной дороги имеет форму кривой, заданной уравнением y=x^3/2 . Найти длину этого участка от x=1 до x=5.

Длина кривой вычисляется по формуле

L = _a~^b √(1 + (y´)²)dx (~ - знак интеграла)

у = x³/2, а = 1, в = 5

Найдем производную функции.

у´= ((х³)´ * 2 - х³ * 2´)/2² = (2 * 3х²)/4 =  3х²/2

Найдем длину кривой с помощью определенного интеграла.

Подставим известные значения в формулу.

L = ₁|⁵ √(1 + (3х²/2)²) = ₁|⁵ √(1 + 9х⁴/4) = √(1 + 9 * 5⁴/4) - √(1 + 9 * 1⁴/4) = √(1 + 9 * 625/4) - √(1 + 9 * 1/4) =  √(1 + 1406,25) - √(1 + 2,25) = √1407,25 - √3,25 ~ 37,5 - 1,8 = 35,7 

Ответ: ~ 35,7 ед.