Вычислите площадь фигуры,которая ограничена графиком функции y=x2-x-2 и осью абсцисс

График функции y= x^2 - x - 2 представлен на рисунке:

http://bit.ly/2BP2I2k

Найдем точки пересечения функции с осью Oх.

 x^2 - x - 2 = 0.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4 * a * c = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

x₂ = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.

Полученная фигура криволинейная трапеция, ограниченная осью Ох и графиком функции y =  x^2 - x - 2 непрерывной на отрезке (-1; 2). Поэтому площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу: ∫_-1² (x^2 - х - 2) dx.

Для решения определенного интеграла используя формулу Ньютона-Лейбница:

∫_a^b f (x) dx = F (X)│_a^b = F (b) - F (a).

Для решения определенного интеграла, нужно сначала найти первообразную F(X) для функции f(x), а затем найти разность значений b и a подставленные в первообразную F(x).

Вычислим площадь криволинейной трапеции:

∫_-1² (x^2 - х - 2) dx = ∫_-1² (1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 - 2 * x) dx = (1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 - 2 * x) |_-1² = (x/6 * (2 * x^2 - 3 * x - 12)) |_-1² = 2/6 * (2 * 2^2 - 3 * 2 - 12) - (-1/6 * (2 * (-1)^2 - 3 * (-1) - 12) = 2/6 * (2 * 4 - 6 - 12) - (-1/6 * (2 + 3 - 12) = 2/6 * (-10) - (-1/6 * (-7)) = -20/6 - 7/6 = -27/6 = -4,5 квадратных единиц.

Отрицательный результат является следствием расположения области интегрирования в отрицательной четверти, поэтому возьмем модуль числа и получим площадь фигуры равную 4,5 квадратных единиц. 

Ответ: площадь фигуры равна 4,5 квадратных единиц.