Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции 9x^2-x^3 на отрезке [2;10]

Наибольшее значение функции достигается в точке максимума, если эта точка максимума принадлежит данному промежутку [2; 10].

Найдем экстремумы функции с помощью производной.

(9x^2 - x^3)\' = 18x - 3x^2;

18x - 3x^2 = 0;

3x(6 - x) = 0;

x1 = 0; x2 = 6 - эти точки делят числовую прямую на три промежутка: 1) (- ∞; 0), 2) (0; 6), 3) (6; + ∞).

Производная функции на 1 и 3 промежутках принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные. Если производная функции на промежутке положительна, то сама функция на этом промежутке возрастает, а если производная - отрицательна, то функция - убывает. 

Значит на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает. Точка с абсциссой х = 0 является точкой максимума, а в точке с абсциссой х = 6 - точкой минимума.

х = 0 не принадлежит промежутку [2; 10], значит надо проверить, в каком из концов отрезка функция будет принимать наибольшее значение.

х = 2; 9 * 2^2 - 2^3 = 36 - 8 = 26;

x = 10; 9 * 10^2 - 10^3 = 900 - 1000 = - 100;

26 > - 100, значит наибольшее значение функции на промежутке [2; 10] будет достигаться в точке с абсциссой х = 2 и равно 26.

Ответ. 26.