Найдите f'(1/2), если f(x)=(x^2+1)^2

Найдём производную данной функции: y = (x^2 + 1)^2.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((x^2 + 1)^2)’ = (x^2 + 1)’ * ((x^2 + 1)^2)’ = ((x^2)’ + (1)’) * ((x^2 + 1)^2)’ = (2 * x^(2 - 1) + 0) * 2 * (x^2 + 1)^(2 - 1) = 4x(x^2 + 1).

Ответ: y\' = 4x(x^2 + 1).