при каких значениях параметра a уравнение 9^x+3^x+a^2-14a=0 имеет единственный корень

   1. Решим квадратное уравнение относительно 3^x:

      9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0;

      (3^x)^2 + 3^x + a^2 - 14a = 0;

      D = 3^2 - 4(a^2 - 14a) = -4a^2 + 56a + 9;

      3^x = (-3 ± √D) / 2;

   a) 3^x = (-3 - √D) / 2 < 0, не имеет решений.

   b) 3^x = (-3 + √D) / 2; (1)

   Уравнение (1) будет иметь единственное решение при условии:

      -3 + √D > 0;

      √D > 3;

      D > 9;

      -4a^2 + 56a + 9 > 9;

      -4a^2 + 56a > 0.

   2. Разделим неравенство на -4, изменив знак неравенства:

      a^2 - 14a < 0;

      a(a - 14) < 0;

      a1 = 0; a2 = 14;

      a ∈ (0; 14).

   Ответ: (0; 14).