Найдите сумму 5 первых членов геметрической прогрессии (b^n),если b^1=5:b^3=80.

Дано: (bn) - геометрическая прогрессия;

b₁ = 5; b₃ = 80;

Найти: S₅ - ?

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1), т.е. S₅ = (b₅ * q – b₁) / (q – 1).

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n – 1);

Согласно этой формуле выразим третий и пятый члены заданной прогрессии:

b₃ = b₁ * q^(3 – 1) = 5 * q^2 = 80, откуда  q^2 = 16 и, следовательно,

q = ±4. Т.к. очевидно, что заданная геометрическая прогрессия возрастающая, значит значение знаменателя положительное (q = 4).

b₅ = b₁ * q^(5 – 1) = 5 * q^4 = 5 * 256 = 1280.

Подставим все найденные значения в формулу суммы:

S₅ = (1280 * 4 – 5) / (4 – 1) = 1705.

Ответ: S₅ = 1705.