Нужно найти производную y=(x²+3x)/(x-1)

 y = (x^2 + 3x)/(x - 1) – найдем производную данной функции по формуле нахождения производной частного (uv)’ = (u’v – uv’)/(v^2), где u = x^2 + 3x, v = x – 1;

y’ = ((x^2 + 3x)’(x – 1) – (x^2 + 3x)(x – 1)’)/((x – 1)^2) – здесь найдем производные по формуле производной суммы (u + v)’ = u’ + v’;

y’ = ((2x + 3)(x – 1) – (x^2 + 3x) * 1)/((x – 1)^2) – в числителе раскроем скобки; первые две – умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки; вторую – если перед скобкой стоит знак минус, мы убираем скобку и этот минус, а каждое слагаемое из скобки записываем с противоположным знаком;

y’ = (2x^2 – 2x + 3x – 3 – x^2 – 3x)/((x – 1)^2) = (x^2 - 2x – 3)/((x – 1)^2).

Можно числитель разложить на множители по формуле ax^2 + bx + c = (a(x - x1)(x - x2). Для нашего трехчлена x^2 - 2x - 3 корни равны x1 = 3, x2 = -1.

x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1);

тогда y\' = ((x - 3)(x + 1))/((x - 1)^2).

Ответ. y\' = (x^2 - 2x - 3)/((x - 1)^2) или y\' = ((x - 3)(x + 1))/((x - 1)^2).