доказать sin(x-y)sin(x+y)=cos^2y-cos^x

   1. Для косинуса суммы и разности двух углов существует формулы:

• cos(a + b) = cosa * cosb - sina * sinb; (1)
• cos(a - b) = cosa * cosb + sina * sinb. (2)

   2. Сложив и вычтя уравнения (1) и (2), получим:

• cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosa * cosb; (3)
• cos(a + b) - cos(a - b) = -2sina * sinb. (4)

   3. Из уравнений (3) и (4) получим формулы для произведения синусов и косинусов двух углов:

• cosa * cosb = 1/2(cos(a + b) + cos(a - b)); (5)
• sina * sinb = 1/2(cos(a - b) - cos(a + b)). (6)

   4. Преобразуем левую часть тождества, воспользовавшись формулой (6) и формулой для двойного угла косинус:

      cos(2a) = 2cos^2(a) - 1; (7)

      sin(x + y)sin(x - y) = 1/2(cos(2y) - cos(2x)) = 1/2((2cos^2(x) - 1) - (2cos^2(y) - 1)) = cos^2(x) - cos^2(y).

   Тождество доказано.