n1 a) 6-х/х-2=х^2/х-2 б)x^2+3x-4/x^2-16=8/x-4 n2 Туристы проплыли на моторной лодке против течения реки 12 км и вернулись

1) a) (6 - х)/(х - 2) = х^2/(х - 2).

Поделим уравнение на (х - 2). ОДЗ: (х - 2) не равно 0, х не равно 2.

Получается уравнение: 6 - х = х^2.

Перенесем все в одну часть:

х^2 + х - 6 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -1; х₁ * х₂ = 6.

Так как -3 + 2 = -1 и -3 * 2 = -6, то х₁ = -3 и  х₂ = 2 (не подходит по ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен -3.

б) (x^2 + 3x - 4)/(x^2 - 16) = 8/(x - 4).

Разложим (x^2 + 3x - 4) на множители по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Подберем корни с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -3; х₁ * х₂ = -4.

Так как -4 + 1 = -3 и -4 * 1 = -4, то х₁ = -4 и  х₂ = 1.

Значит, x^2 + 3x - 4 = (х + 4)(х - 1).

Разложим (x^2 - 16) на множители по формуле разности квадратов:

x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (х - 4)(х + 4).

Получается уравнение:

(х + 4)(х - 1)/(х - 4)(х + 4) = 8/(x - 4).

Скобку (х + 4) можно сократить, получается (х - 1)/(х - 4) = 8/(x - 4).

Умножаем уравнение на (х - 4), ОДЗ: х не равен 4.

х - 1 = 8; х = 8 + 1; х = 9.

Ответ: корень уравнения равен 9.

2) Обозначим собственную скорость лодки за х. Тогда по течению она пойдет со скоростью (х + 2) км/ч, а против течения (х - 2) км/ч.

Выразим время движения лодки по течению: 12/(х + 2) часов.

Время движения лодки обратно (против течения): 12/(х - 2) часов.

На весь путь туристы затратили 2 часа 30 минут = 2,5 часа.

Составляем уравнение: 12/(х + 2) + 12/(х - 2) = 2,5.

(12(х - 2) + 12(х + 2))/(х + 2)(х - 2) = 2,5;

(12х - 24 + 12х + 24)/(х^2 - 4) = 2,5;

24х/(х^2 - 4) = 2,5.

по правилу пропорции: 2,5(х^2 - 4) = 24x.

2,5х^2 - 10 - 24x = 0.

Умножим уравнение на 2:

5х^2 - 48x - 20 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 5; b = -48; c = -20;

D = b^2 - 4ac; D = (-48)^2 - 4 * 5 * (-20) = 2304 + 400 = 2704 (√D = 52);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (48 - 52)/(2 * 5) = -4/10 (отрицательный корень, не подходит).

х₂ = (48 + 52)/10 = 100/10 = 10 (км/ч).

Ответ: собственная скорость лодки равна 10 км/ч.