Вычислите: cos(arctg(-3/4)+arcctg(-1/√3))

   1. Выразим функции синус и косинус через функции тангенс и котангенс:

   a) cosx;

• sin^2(x) + cos^2(x) = 1;
• tg^2(x) + 1 = 1/cos^2(x);
• cos^2(x) = 1/(1 + tg^2(x));
• cosx = ± 1/√(1 + tg^2(x)); (1)
• cosx = ± 1/√(1 + 1/ctg^2(x)). (2)

   b) sinx;

• sin^2(x) + cos^2(x) = 1;
• 1 + ctg^2(x) = 1/sin^2(x);
• sin^2(x) = 1/(1 + ctg^2(x));
• sinx = ± 1/√(1 + ctg^2(x)); (3)
• sinx = ± 1/√(1 + 1/tg^2(x)). (4)

   2. Обозначим заданное выражение Z и по формуле для косинуса суммы двух углов преобразуем его:

• cos(a + b) = cosa * cosb - sina * sinb;
• Z = cos(arctg(-3/4) + arcctg(-1/√3));
• Z = cos(-arctg(3/4) - arcctg(1/√3));
• Z = cos(arctg(3/4) + arcctg(1/√3));
• Z = cos(arctg(3/4)) * cos(arcctg(1/√3)) - sin(arctg(3/4)) * sin(arcctg(1/√3));
• cos(arctg(3/4)) = 1/√(1 + (3/4)^2) = 1/√(1 + 9/16) = 1/√(25/16) = 4/5;
• sin(arctg(3/4)) = 3/5;
• cos(arctg(1/√3)) = 1/√(1 + (1/√3)^2) = 1/√(1 + 1/3) = 1/√(4/3) = √3/2;
• sin(arctg(1/√3)) = 1/2;
• Z = 4/5 * √3/2 - 3/5 * 1/2;
• Z = 4√3/10 - 3/10 = (4√3 - 3)/10.

   Ответ: (4√3 - 3)/10.